BAB I
PENDAHULUAN
Laporan ini berisi hasil kegiatan berpikir kreatif dan kritis , mengenai persamaan diferensial orde satu, untuk materi PD Variabel Terpisah dan PD Homogen.
Adapun tujuan umum mempelajari materi ini adalah untuk memahami persamaan diferensial orde satu, untuk materi PD Variabel Terpisah dan PD Homogen.
BAB II
MATERI
PD Variabel Terpisah
Untuk memahami bentuk PD Variabel Terpisah, terlebih dahulu dituliskan bentuk umum PD orde satu, yaitu :
F(x,y,y^' )=0 atau dy/dx=f(x,y)
Dengan turunannya adalah fungsi dalam variabel x dan y. Bentuk yang paling sederhana dari bentuk PD orde satu ini adalah PD yang variabel-variabelnya sudah terpisahkan, atau dikenal dengan PD variabel terpisah. PD ini mempunyai bentuk :
M(x)dx+N(y)dy=0
Dengan M(x) dan N(x) berturut-turut fungsi dalam variabel x dan y. Persamaan ini selalu mungkin untuk dapat dikerjakan jika dimisalkan M=-f(x,y) dan N(y)=1.
Untuk menentukan solusi persamaan M(x)dx+N(y)dy=0 ini dapat dilakukan dengan cara mengintegralkan secara langsung masing-masing suku dalam persamaan itu, dan solusi persamaan M(x)dx+N(y)dy=0 dapat ditulis :
∫▒Mdx+∫▒Ndy=C
Dengan C adalah sebarang konstanta.
Contoh :
PD : dy/dx=1+x^2 y dapar ditulis (1+x^2 y)dx-dy=0, dengan M(x,y)=1+x^2 y dan N(x,y)=1
Carilah solusi umum dari PD : y^'=1+e^2x
Ubah y^'=1+e^2x menjadi dy-(1+e^2x )dx=0. Karena PD terakhir merupakan PD variabel terpisah, maka kedua ruas dapat diintegralkan secara langsung , sehingga :
y=1+e^2x+C
Jadi, solusi umumnya adalah y=1+e^2x+C, dengan C adalah sembarang konstanta.
Selanjutnya, diberikan bentuk lain dari persamaan ∫▒Mdx+∫▒Ndy=C, yaitu PD yang variabel-variabelnya dapat dipisahkan. PD ini mempunyai bentuk :
f_1 (x) g_1 (y)dx + f_2 (x) g_2 (y)dx=0
Jika persamaan f_1 (x) g_1 (y)dx + f_2 (x) g_2 (y)dx=0 direduksi dengan faktor integral 1/(g_1 (y) f_2 (x) ), maka persamaan f_1 (x) g_1 (y)dx + f_2 (x) g_2 (y)dx=0 menjadi :
(f_1 (x))/(f_2 (x)) dx+(g_2 (y))/(g_1 (y)) dy=C
Dengan C adalah sebarang konstanta,
PD Homogen
Definisi : suatu fungsi f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajat (berpangkat) n jika
f(λx,λy)=λ^n f(x,y)
Dimana λ adalah sebarang konstanta, λ≠0.
Secara formal PD Homogen diberikan oleh definisi berikut :
“Suatu persamaan diferensial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 disebut PD Homogen jika M(x,y) dan N(x,y) merupakan funsi homogen dengan berderajat yang sama”.
Metode untuk menentukan solusi umum dari PD Homogen tersebut dapat dilakukn dengan cara sebagao berikut :
Misalkan y=ux,dy=xdu+udx atau x=uy,dx=ydu+udy
Ubah PD : M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 menjadi PD variabel terpisah.
Setelah PD menjadi PD variabel terpisah, integralkan kedua ruas untuk mendapatkan solusi umumnya.
Gantilah u=y/x, jika pemisalannya y=ux dan u=y/x, jika pemisalannya adalah x=uy untuk mendapatkan kembali variabel semula.
Contoh :
Carilah solusi umum dari PD : (x-y)dx+xdy=0
Penyelesaian :
Periksa apakah PD : (x-y)dx+xdy=0 ini merupakan PD homogen !
M(x,y)=x-y, merupakan f
ungsi homogen berderajat 1 karena
M(λx,λy)= λx-λy=λ(x-y)=λM(x,y)
N(x,y)=x, merupakan funsi homogen berderajat 1 karena
N(λx,λy)=λx=λN(x,y)
Karena M(x,y) dan N(x,y) berderajat sama yaitu 1, maka PD : (x-y)dx+xdy=0 adalah PD homogen.
Misalkan y=ux,dy=xdu+udx, maka PD : (x-y)dx+xdy=0 mempunyai bentuk :
(x-ux)dx+x(udx+xdu)=0 atau xdx+x^2 du=0
Ubah PD : xdx+x^2 du=0 menjadi PD variabel terpisah dengan faktor integral 1/x^2 sehingga
1/x dx+du=0
Kemudian integralkan kedua ruas sehingga diperoleh x=e^(C-u)=〖Ce〗^(-u). Karena y=ux atau u=y/x, maka x=〖Ce〗^(-y/x). Jadi solusi umunya adalah x=〖Ce〗^(-y/x), C adalah sembarang konstanta.
BAB III
LATIHAN
TUGAS KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS
Diberikan PD berikut :
〖(ye〗^x+yx)dx+dy=0
dy+y dx=e^3x dx
〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0
x^2 dy+3xy dx=6 dx
Manakah dari PD tersebut diatas yang termasuk PD Variabel Terpisah dan PD Homogen ? Jika iya, jelaskan mengapa? Jika tidak, jelaskan mengapa?
Dari PD variabel terpisah yang kamu tentukan tersebut diatas. Tentukan :
Solusi umum dari PD tersebut !
Tunjukkan bahwa solusi umum tersebut bersesuaian dengan PD yang diketahui.
Gambarkan grafik solusi umum dengan menggunakan program matlab.
Dari PD homogen yang kamu tentukan tersebut diatas. Tentukan :
Solusi umum dari PD tersebut !
Tunjukkan bahwa solusi umum tersebut bersesuaian dengan PD yang diketahui.
Gambarkan grafik solusi umum dengan menggunakan program matlab.
Penyelesaian :
Fase Search:
Diketahui, PD : 1. (〖ye〗^x+yx)dx+dy=0
2. dy+y dx=e^3x dx
3. 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0
4. x^2 dy+3xy dx=6 dx
Ditanya : Manakah dari PD tersebut PD Variabel Terpisah dan PD Homogen, jika iya jelaskan dan jika tidak jelaskan !
Fase Solve :
Dilihat secara langsung, PD : (〖ye〗^x+yx)dx+dy=0 bukan termasuk PD variabel terpisah. Namun, PD tersebut variabel-variabelnya dapat dipisahkan dengan cara :
Reduksi PD dengan faktor integral 1⁄y, sehingga menjadi :
(e^x+x)dx+1⁄y dy=0
PD : (〖ye〗^x+yx)dx+dy=0 dapat disederhanakan menjadi :
(〖ye〗^x+yx)dx+dy=0
y(e^x+x)dx+dy=0 x 1⁄y
(e^x+x)dx+1⁄y dy=0
∴ PD : (〖ye〗^x+yx)dx+dy=0 termasuk PD Variabel Terpisah karena dapat dibentuk menjadi M (x)+N (y)=0.
PD : (〖ye〗^x+yx)dx+dy=0 merupakan PD homogen jika M (x,y) dan N (x,y) suatu fungsi homogen yang berderajat sama.
M (x,y)=〖ye〗^x+yx
M (λx,λy)=〖λye〗^λx+λyλx
= 〖λye〗^λx+λ^2 yx
= 〖λ(ye〗^λx+λyx)
Karena 〖λ(ye〗^λx+λyx)≠ λ( 〖ye〗^x+yx ), maka bukan fungsi homogen.
N(x,y)=1
N (λx,λy)= 1
Bukan fungsi homogen.
∴ Dapat disimpulkan bahwa PD : (〖ye〗^x+yx)dx+dy=0 bukan merupakan PD homogen. Karena bukan merupakan fungsi homogen.
PD : dy+y dx=e^3x dx tidak termasuk PD variabel Terpisah.
dy+y dx=e^3x dx
dy+y dx-e^3x dx=0
(y -e^3x )dx+dy=0
∴ PD : dy+y dx=e^3x dx tidak dapat dibentuk menjadi M (x)+N (y)=0 , maka PD : dy+y dx=e^3x dx tidak termasuk PD variabel terpisah.
PD : dy+y dx=e^3x dx tidak termasuk PD homogen karena
dy+y dx=e^3x dx
dy+y dx-e^3x dx=0
(y -e^3x )dx+dy=0
(x,y)=y -e^3x
M (λx,λy)=λy -e^3λx
Karena λy -e^3λx≠ λ(y -e^3x), maka bukan fungsi homogen.
N(x,y)=1
N (λx,λy)=1
Bukan fungsi Homogen.
∴ Dapat disimpulkan bahwa PD : dy+y dx=e^3x dx bukan merupakan PD homogen. Karena bukan merupakan fungsi homogen.
PD : 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0 tidak termasuk variabel terpisah :
〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0
〖xy〗^2 dy-(y^3-x^3 )dx=0
Karena PD : 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0 tidak dapat dibentuk menjadi M (x)+N (y)=0 , maka PD : 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0 tidak termasuk PD variabel terpisah.
PD : 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0 termasuk PD homogen karena :
〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0
〖xy〗^2 dy-(y^3-x^3 )dx=0
(x^3-y^3 )dx+〖xy〗^2 dy=0
M (x,y)=x^3-y^3
M (λx,λy)=〖(λx)〗^3-(〖λy)〗^3
= λ^3 〖(x〗^3-y^3)
= λ^3 M (x,y)
Fungsi homogen berderajat 3.
N(x,y)=〖xy〗^2
N (λx,λy)=λ〖x(λy)〗^2
〖=λ〗^3 (〖xy〗^2)
〖=λ〗^3 N(x,y)
Fungsi homogen berderajat 3.
Oleh karena, M (x,y) dan N(x,y) berderajat sama, maka PD : 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0 termasuk PD Homogen.
∴ PD : 〖xy〗^2 dy=(y^3-x^3 )dx=0 merupakan PD Homogen.
PD : x^2 dy+3xy dx=6 dx tidak termasuk variabel terpisah :
x^2 dy+3xy dx=6 dx
x^2 dy+3xy dx-6 dx=0
(3xy -6)dx+ x^2 dy =0
Karena PD : x^2 dy+3xy dx=6 dx tidak dapat dibentuk menjadi M (x)+N (y)=0 , maka PD : x^2 dy+3xy dx=6 dx tidak termasuk PD variabel terpisah.
PD : x^2 dy+3xy dx=6 dx tidak termasuk PD homogen, karena :
x^2 dy+3xy dx=6 dx
x^2 dy+3xy dx-6 dx=0
(3xy -6)dx+ x^2 dy =0
Periksa apakah PD : x^2 dy+3xy dx=6 dx ini merupakan PD homogen :
M (x,y)=3xy-6
M (λx,λy)=3(λx)(λy)-6
= 3λ^2 (x,y)-6
Karena λ^2 (x,y)-6 ≠ λ( 3xy-6), maka bukan fungsi homogen.
N(x,y)=x^2
M (λx,λy)= (〖λx)〗^2
= λ^2 x^2
Karena λ^2 x^2 = λ (x^2), maka merupakan fungsi homogen berderajat 2.
∴ Jadi, dapat disimpulkan bahwa PD : x^2 dy+3xy dx=6 dx bukan merupakan PD homogen. Karena M (x,y) dan N(x,y) bukan merupakan fungsi homogen yang berderajat sama.
Penyelesaian :
Fase Search
Diketahui, PD :
Ditanya :
Solusi Umum dari PD tersebut !
Tunjukkan bahwa solusi umum tersebut bersesuaian dengan yang diketahui
Gambarkan grafik solusi umum dengan menggunakan program matlab
Fase Solve
Karena PD: merupakan PD variabel terpisah, maka solusi umumnya dapat diselesaikan dengan mengintegralkan setiap suku-sukunya
Jadi solusi umum PD adalah , dimana C adalah sebarang konstanta.
Akan ditunjukkan bahwa solusi umum
bersesuaian dengan PD: .
. . .Pers. I
. . . Pers. II
Kemudian PD : disederhanakan menjadi
Substitusikan Persamaan (1) dan (2) ke Persamaan (3)
Jadi Terbukti solusi umum bersesuaian dengan PD.
Fase Create
a.
b.
Jadi solusi umum PD adalah , dimana C adalah sebarang konstanta.
Penyelesaian :
Fase Search :
Diketahui : PD : merupakan PD homogen
Ditanya :
Solusi Umum
Tunjukkan bahwa solusi umum bersesuaian dengan PD
Gambarkan grafik solusi umum dengan program matlab
Fase solve
Karena PD adalah PD homogen, maka untuk mencari solusi umumnya dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :
Misalkan , kemudian di substitusikan ke PD: Sehingga PD menjadi
Ubah PD menjadi variabel terpisah, dengan faktor integral , sehingga PD menjadi
Kemudian integralkan suku-suku dari PD :
Substitusikan ke persamaan (1)
Jadi solusi umum PD: adalah .
Akan dibuktikan solusi umum PD bersesuaian dengan PD nya, dengan cara sebagai berikut :
Kemudian substitusikan y dan dy ke PD nya :
Jadi solusi umum bersesuaian dengan PD:
Fase Share
TUGAS KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF
Soal
Diberikan PD 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0, yπ/12 = π/4 . Tentukan :
Solusi khusus dari PD tersebut !
Apakah ada kemungkinan cara yang lain untuk mendapatkan solusi umum dari PD tersebut di atas? Jika ada, sebutkan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (paling banyak dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda) ?
Tunjukkan bahwa solusi umum tesebut bersesuaian dengan PD yang diketahui !
Gambarkan grafik solusi khusus dengan menggunakan program matlab !
Apakah ada kemungkinan cara lain untuk menggambarkan grafik solusi khusus? Jika ada, tuliskan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (pelaing sedikit dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda ) dengan menggunakan program matlab.
Diberikan PD y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0,y(0)=1. Tentukan :
Solusi Khusus dari PD tersebut !
Apakah ada kemungkinan cara yang lain untuk mendapat solusi umum dari PD tersebut diatas? Jika ada, sebutkan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (paling sedikit dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda) ?
Tunjukkan bahwa solusi umum tersebut bersesuaian dengan PD yang diketahui !
Gambarkan grafik solusi khusus dengan menggunakan program matlab !
Apakah ada kemungkinan cara yang lain untuk menggambarkan grafik solusi khusus ? jika ada, tuliskan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (paling sedikit dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda) dengan menggunakan program matlab.
Penyelesaian
Fase Search
Diketahui : PD 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0, yπ/12 = π/4
Ditanya :
Solusi khusus dari PD tersebut !
Apakah ada kemungkinan cara yang lain untuk mendapatkan solusi umum dari PD tersebut di atas? Jika ada, sebutkan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (paling banyak dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda) ?
Tunjukkan bahwa solusi umum tesebut bersesuaian dengan PD yang diketahui
Gambarkan grafik solusi khusus dengan menggunakan program matlab.
Apakah ada kemungkinan cara lain untuk menggambarkan grafik solusi khusus? Jika ada, tuliskan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (pelaing sedikit dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda ) dengan menggunakan program matlab.
Fase Solve
PD : 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0, , yπ/12 = π/4 merupakan PD variabel terpisah, karena dapat dibentuk menjadi M(x)dx+N(y)dy=0.
8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0
8/(〖csc〗^2 x) dx + 1/(〖cos〗^2 y) dy = 0
Karena PD 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0, merupakan PD variabel terpisah dengan bentuk 8/〖csc〗^2 dx + 1/(〖cos〗^2 y) dy = 0, maka kedua ruas dapat diintegralkan secara langsung untuk mendapatkan solusi umumnya.
∫▒〖8/(〖csc〗^2 x) dx 〗+ ∫▒〖1/(〖cos〗^2 y) dy 〗= c
∫▒1/( 〖csc〗^2 x) dx + ∫▒8/(〖cos〗^2 y) dy = c
8 ∫▒1/(1⁄(〖sin〗^2 x)) dx + ∫▒〖sec〗^2 y dy = c
8 ∫▒〖〖sin〗^2 x 〗dx + ∫▒〖sec〗^2 y dy = c
8 ∫▒1/2(1-〖cos〗^2 x) dx + ∫▒〖sec〗^2 y dy = c
4 ∫▒〖(1-cos〖2x) 〗 〗dx + ∫▒〖sec〗^2 y dy = c
4 (x- 1/2 sin2x ) + (tany ) = c
4x-2 sin2x + tan〖y 〗= c
tan〖y 〗= c-4x+2 sin2x
atau
y = tan(1/(c-4x+2 sin2x ))
Jadi, solusi umumnya adalah tan〖y 〗= c-4x+2 sin2x atau
y = tan(1/(c-4x+2 sin2x )).
Kemudian, substitusikan nilai yang ada disyarat awal sehingga diperoleh solusi khususnya.
y [π/12] = π/4 (Syarat Awal)
tan〖y 〗= c-4x+2 sin2x
tan〖π/4〗 = c-4 π/12 + 2 sin〖2 π/12〗
tan〖π/4〗 = c- π/3 + 2 sin〖π/6〗
1 = c- π/3 + 2 1/2
1 = c- π/3 + 1
1-1+ π/3 = c
π/3 = c
tan〖y 〗 = [π/3] - 4x+2 sin2x
Atau
y=tan(1/( [π/3] - 4x+2 sin2x ))
∴ Jadi, solusi khusus PD : 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0, , yπ/12 = π/4 ialah tan〖y 〗 = [π/3] - 4x+2 sin2x atau y=tan(1/( [π/3] - 4x+2 sin2x ))
Fase Create
Akan ditunjukkan apakah solusi umum tan〖y=(c-4x+2 sin2x 〗) bersesuaian dengan PD : 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0.
tan〖y=(c-4x+2 sin2x 〗)
siny/cosy = (c-4x+2 sin2x )
1/(〖cos〗^2 y ) dy = (-4+4 cos2x ) dx
1/(〖cos〗^2 y ) dy = -4 (1-cos2x )
dy/dx= -4 (1-cos2x ) 〖cos〗^2 y
Sustitusi nilai dy/dx ke PD : 8 〖cos〗^2 y dx + 〖csc〗^2 x dy = 0
dy/dx=- (8 〖cos〗^2 y)/(〖csc〗^2 x)
-4 (1-cos2x ) 〖cos〗^2 y= - (8 〖cos〗^2 y)/(〖csc〗^2 x)
-4 (1-cos2x ) 〖cos〗^2 y= - (8 〖cos〗^2 y)/(1⁄〖sin〗^2 .x)
-4 (1-cos2x ) 〖cos〗^2 y=- 8 〖cos〗^2 y .〖sin〗^2 x
(-4 (1-cos2x ) 〖cos〗^2 y)/(- 8 〖cos〗^2 y)= 〖sin〗^2 x
1/2 ( 1-cos〖2x )= 〗 1/2 ( 1-cos〖2x )〗
0 = 0
∴ Jadi, terbukti solusi umum bersesuaian dengan PD.
Fase Search
Diketahui : PD y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0,y(0)=1.
Ditanya :
Solusi Khusus ?
Apakah ada kemungkinan cara yang lain untuk mendapat solusi umum dari PD tersebut diatas? Jika ada, sebutkan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (paling sedikit dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda).
Apakah solusi umum tersebut bersesuaian dengan PD yang diketahui ?
Gambar grafik solusi khusus dengan menggunakan program matlab ?
Apakah ada kemungkinan cara yang lain untuk menggambarkan grafik solusi khusus ? Jika ada, tuliskan cara-cara tersebut sebanyak mungkin yang dapat kamu kerjakan (paling sedikit dua kemungkinan cara penyelesaian yang berbeda) dengan menggunakan program matlab.
Fase Solve
Periksa apakah PD y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0 merupakan PD Homogen ?
M(x,y) =y^2
M(λx,λy) =〖(λy)〗^2=λ^2 y^2=λ^2 M(x,y) (Fungsi homogen berderajat 2)
N(x,y) =y^2
N(λx,λy) =(λx)^2+λxλy+(λy)^2
=λ^2 x^2+λ^2 xy+λ^2 y^2
〖 =λ〗^2 (x^2+xy+y^2 )
〖 =λ〗^2 N(x,y) (Fungsi homogen berderajat 2)
Oleh karena, M(x,y) dan N(x,y) fungsi homogen yang berderajat sama, maka PD y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0 merupakan PD Homogen.
Untuk mencari solusi khusus dapat digunakan langkah sbb :
Misalkan : y=ux,dy=xdu+udx , maka PD mempunyai bentuk.
y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0
(ux)^2 dx+(x^2+x(ux)+(ux)^2 ) (xdu+udx)=0
u^2 x^2 dx+(x^2+〖ux〗^2+u^2 x^2 ) (xdu+udx)=0
〖(u〗^2 x^2+〖ux〗^2+〖u^2 x〗^2+u^3 x^2)dx+(x^3+〖ux〗^3+u^2 x^3)du=0
x^2 (u^3+2u^2++u)dx+x^3 (u^2+u+1)du=0
1/x dx+(u^2+u+1)/(u^3+〖2u〗^2+u) du=0
Karena PD menjadi PD variabel terpisah, maka kedua ruas di integralkan untuk mendapatkan solusi umumnya.
∫▒〖 1/x dx〗+∫▒〖(u^2+u+1)/(u^3+〖2u〗^2+u) du〗=C
∫▒〖1/x dx〗+∫▒〖(〖(u+1)〗^2-u)/(u〖(u+1)〗^2 ) du〗=C
∫▒〖1/x dx〗+∫▒〖(〖(u+1)〗^2/(u〖(u+1)〗^2 )-u/(u(u+1)^2 ))du〗=C
∫▒〖1/x dx〗+∫▒〖(1/u-1/〖(u+1)〗^2 )〗 du=C
lnx+lnu+1/u=C
lnx+ln〖y/x〗+x/y=C
〖 ln〗x+ln〖y-lnx 〗+x/y=C
〖 ln〗〖y+x/y=C〗
x=yC-lny
Syarat awal y(0)=1, substitusikan ke solusi umum :
x=yC-lny
0=1.C-ln1
0=C-0
C=0
C=0
Substitusikan nilai C ke solusi umum, sehingga diperoleh solusi khusus.
x=yC-lny
x=y.0-lny
x=-ln〖y 〗
∴ Jadi, solusi khusus PD y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0 ialah :
x=-ln〖y 〗
Fase Create
Akan ditunjukkan apakah solusi umum bersesuain dengan PD.
x=yC-lny.............(1)
dx=(C-1/y)dy
dy/dx=1/((C-1/y) )....................(2)
Substitusikan persamaan (1) dan (2) ke PD y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0 .
y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0
dy/dx=(-y^2)/(x^2+xy+y^2 )
1/((C-1/y) )=(-y^2)/(x^2+xy+y^2 )
x^2+xy+y^2=-y^2 (C-1/y)
x^2+xy+y^2=-y^2 C+y
(yC-lny )^2+(yC-lny )y+y^2=-y^2 C+y
y^2 C^2-2yC(ln〖y)+〖(ln〖y)〗〗^2 〗+y^2 C-y(ln〖y 〗 )+y^2=-y^2 C+y
y^2 (C^2+C+1)-y(2C(ln〖y)+(ln〖y)〗)〗≠-y^2 C+y
∴ Jadi, solusi umum x=yC-lny tidak bersesuaian dengan PD
y^2 dx+(x^2+xy+y^2 )dy=0
Fase Share
BAB IV
PENUTUP
Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu untuk materi PD Variabel Terpisah dan PD Homogen, maka diharapkan mahasiswa mampu menentukan PD Variabel Terpisah dan PD Homogen, mencari solusi umum dan solusi khusus dari dari PD Variabel Terpisah dan PD Homogen, menggambar grafik solusi umum dari PD Variabel Terpisah dan PD Homogen dengan program matlab, menggambar grafik solusi khusus dari PD Variabel Terpisah dan PD Homogen dengan program matlab, dan menunjukkan solusi umum bersesuaian dengan PD yang dietahui.
Selain itu, mahasiswa juga dituntut untuk dapat mencari solusi umum dan solusi khusus dari PD Variabel Terpisah dan PD Homogen dengan cara sebanyak mungkin yang dia bisa.
Catatan : (Sumber Materi : Bahan Ajar –Persamaan Diferensial, Hasby Assidiqi, S.Pd, M.Si)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar